「ぱぱっと」計算 04: 平面を転がるボールの運動

ゴルフ

前回まででボールは転がり始めました。もう我々人類ができることはありません。はたしてカップインするか、OKパットに寄ってくれるのか、しっかり見届けましょう。ということで、今回はボールの転がりについて計算します。

今回はグリーンに傾斜がない水平面と並行な場所でパットすることを考えます。ボールにかかる力は、みんな大好き重力加速度 \(g\) とボールの初速 \(v_0\) 由来の力、あとはグリーンの摩擦になります。図に書くとこのようなイメージです。

新しく現れたパワー💪は摩擦力 \(\mu{}mg\) ですね。その中でも \(\mu\) は摩擦係数といい、ボールが転がり進む際に逆方向に働く力になります。パターヘッドから得られた力が摩擦力によって段々削られていき、しまいには停止する形になります。摩擦力、摩擦力… それも摩擦係数 \(\mu\) って何やねん。分からんばい。

ゴルファーにとって理解できる係数への置換が必要です。ボールが転がるのを抑制する力と言えばグリーンの芝ですね。一般的には「グリーンの速さ」と表現しますよね。この速さ指標が数値化されてるのはご存知でしょうか。もちろん私は全く知りませんでした。「ぱぱっと」を作るにあたって初めて知りました。その名も「スティンプメーター」。グリーンの速さを測定する器具だそうで、このように販売もされてます。

 紹介

なかなか高価ですね。グリーン速度測定のデファクトスタンダードな様子ですし、購入して計測してみたかったのですが手がでませんでした。ゴルフ場によってはその日のスティンプメーター値を掲示してくれるようなので、そのようなありがたいコースに当たったら「ぱぱっと」計算に生かしたいと思います。

話が逸れましたが、スティンプメーターを使って転がった距離がグリーンの速さという訳です。単位はフィート。一般的なゴルフ場は8~9フィートのところが多いそうです。スティンプメーター値を \(s\) とし、計算してみましょう。必要なのは等加速度直線運動の3式です。

$$F=ma$$

$$x=\frac{1}{2}at^2+v_0t$$

$$v=at+v_0$$

摩擦力は \(\mu{}mg\)。ボールに掛かる重力加速度に摩擦係数を乗算したものです。転がる方向を + とすると、\(ma=F=-\mu{}mg\) となり、\(a=-\mu{}g\)。

ボールが止まると \(v=0\) となるので、3式から。

$$0=at+v_0=-\mu{}gt+v_0$$

$$t=\frac{v_0}{\mu{}g}$$

スティンプメーター \(s=9\) のとき、摩擦係数 \(\mu=0.1\) 。ボール初速 \(v_0=2m/s\) とすると、ボールが停止するまでの時間 \(t\) は、

$$t=\frac{2}{0.1*9.8}=1.96秒$$

となり、1.96秒後に停止します。2式より、

$$\frac{1}{2}(-\mu{}g)t^2+v_0t=-0.5*0.1*9.8*1.96^2+2*1.96=2.0m$$

でした。スティンプメーター値 \(s=9\) のグリーンにおいて、ボールの初速 2m/s で打ち出すと 2m 転がるよってことです。

最後に恒例の「ぱぱっと」では何を計算していないのか。以前にも書きましたが、風の影響や空気抵抗は無視しています。それから、ボールは完全な球体と考えていますので、ボールのブツブツを無視しています。あとは転がりにより消費する力については計算式には入ってませんが、摩擦係数やスティンプメーター値への変換の中に経験則的に含まれるかもしれません。証明はしてないので転がる距離が大きくずれるようなら条件を教えて頂けるとありがたいです。

以上で平面を転がるボールの運動計算は終了です。

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