「ぱぱっと」計算 05: 斜面を転がるボールの運動(1次元)

ゴルフ

前回は水平面でのボールの転がりについて計算しましたので、今回は斜面を転がるボールの運動を計算してみます。平面から斜面に変わるので計算式は複雑になるのですが、物理現象は変わりません。水平面が斜面になりましたので、力関係の図はこのようになります。

斜面の角度をθ°としています。このとき、ボールに掛かる力 mg は水平面の場合から変わりません。ただし、角度が付いたことにより力が斜面に並行な方向と斜面に垂直な方向に分離して考える必要があります。前者は斜面の底方向に定常的に働く力、後者は前回と同じく摩擦力の元になります。

では、運動方程式を立てましょう。

$$F=ma$$

$$x=\frac{1}{2}at^2+v_0t$$

$$v=at+v_0$$

sin/cos計算が加わりますが、計算方法は前回と変わりません。今回は1次元のまま斜面化した場合を想定していますので、パットで表現すると真っすぐの上りラインと真っすぐの下りラインが計算できます。

まずは上りから。斜面角度を +2°とし、スティンプメーター s = 9 のとき、摩擦係数 μ = 0.1 。ボール初速 v0 = 2m/s とすると、ボールが停止するまでの時間 t は、

$$t=\frac{2}{0.1*9.8}=1.96秒$$

となり、1.96秒後に停止します。2式より、

$$x=\frac{1}{2}(-\mu{}g)t^2+v_0t=-0.5*0.1*9.8*1.96^2+2*1.96=2.0m$$

でした。スティンプメーター値 s = 9 のグリーンにおいて、ボールの初速 2m/s で打ち出すと 2m 転がるよってことです。

次に下りです。斜面角度を -2°とし他の値はそのまま。
上りも下りも同じ強さでパットした場合、この条件だと xxx m の差となりました。

ところで、斜面の角度θ°としたのは高校物理のテスト問題ではこの表現が多いからです。斜面の傾斜を表す方法としてもう一つ「勾配」も良く聞きます。私は角度の方が馴染みがあるので「ぱぱっと」でも角度表記を使っていますが、ゴルフではどちらが一般的なのでしょう。勾配表記のご希望が多いようなら対応できます。

  角度    勾配  
1.8%
3.5%
5.2%
7.0%
8.7%

ちなみに、角度3°を越えるとボールが止まらなくなります。もちろん、グリーンスピードによって閾値は異なります。だから、ほとんどのグリーンは傾斜が0°~3°の範囲内であり、勾配だと0%~5%程度となります。

以上で斜面を転がるボールの運動(1次元)の運動計算は終了です。

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